Ein Verdränger schiebt sein eigenes Wellensystem vor sich her. Wird er schneller, wird diese Welle länger – bis sie so lang ist wie der Rumpf. Ab da müsste das Boot den eigenen Wellenberg hochfahren. Diese Grenze heißt Rumpfgeschwindigkeit.
So wird gerechnet
Maßgeblich ist die Wasserlinienlänge, nicht die Länge über alles. Überhänge an Bug und Heck zählen nicht mit – ein Boot mit langen Überhängen ist also langsamer, als seine Gesamtlänge vermuten lässt.
Klassische Formel v = 1,34 × √LWL (Fuß), metrisch v = 2,43 × √LWL (Meter). Sie gilt für Verdrängerrümpfe; Gleiter und Mehrrumpfboote verhalten sich anders.
Hintergrund
Die Formel kennt das Gewicht des Bootes nicht
Die Rumpfgeschwindigkeit hat genau eine Eingabe: die Wasserlinienlänge. Wie schwer das Boot ist, kommt in der Formel nicht vor – das ist keine Vereinfachung, sondern eine versteckte Annahme. Rechnet man den Faktor 2,43 gegen ein gängiges Konstrukteursmodell zurück, beschreibt er ein Boot, das bei 9 m Wasserlinie rund 9.032 kg wiegt. Eine 5,5-Tonnen-Yacht derselben Länge kommt nach demselben Modell auf 8,51 kn statt 7,29 kn – ohne zu gleiten.
Grundlage: Rumpfgeschwindigkeit – Formel, metrische Konstante und Faustregeln · Hull speed – Herleitung aus der Dispersionsrelation der Tiefwasserwelle und 4 weitere · alle Quellen
Woher die 2,43 kommen
Der Faktor ist keine Erfahrungszahl aus dem Bootsbau, sondern fällt aus der Wellenphysik heraus. Eine Schwerewelle in tiefem Wasser läuft umso schneller, je länger sie ist: Ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit ist die Wurzel aus Wellenlänge mal Erdbeschleunigung, geteilt durch zwei Pi. Setzt man die Wellenlänge gleich der Wasserlinienlänge – genau das ist die Annahme hinter der Rumpfgeschwindigkeit –, bleibt eine einzige Zahl übrig: 1,25 Meter je Sekunde für jede Wurzel Meter Wasserlinie. In Knoten sind das 2,4285.
Dieselbe Rechnung in Fuß sieht anders aus, weil die Erdbeschleunigung dort 32,174 Fuß je Sekundenquadrat beträgt: Es kommen 1,3407 Knoten je Wurzel Fuß heraus. Das ist die Zahl, die in der englischsprachigen Literatur als 1,34 steht.
| Einheitensystem | Erdbeschleunigung | Faktor exakt | Faktor klassisch |
|---|---|---|---|
| Knoten je Wurzel Meter | 9,80665 m/s² | 2,4285 | 2,43 |
| Knoten je Wurzel Fuß | 32,174 ft/s² | 1,3407 | 1,34 |
Beide Lehrbuchzahlen sind gerundet, und zwar in entgegengesetzte Richtungen: 2,43 liegt 0,063 % über dem exakten Wert, 1,34 liegt darunter. Bei 9 m Wasserlinie trennt die beiden Rechenwege deshalb ein Unterschied von 0,009 kn – 7,29 kn gegen 7,281 kn, exakt wären es 7,285 kn. Für die Praxis ist das irrelevant; für das Verständnis ist es der Beleg, dass hier zwei Näherungen desselben Sachverhalts nebeneinander stehen.
Die eigentliche Zahl heißt 0,3989 und hat keine Einheit
Weder 2,43 noch 1,34 sind die physikalische Aussage. Die Aussage steckt in der Froude-Zahl: Geschwindigkeit geteilt durch die Wurzel aus Erdbeschleunigung mal Länge. Sie ist dimensionslos, hängt also an keinem Einheitensystem. Setzt man die Rumpfgeschwindigkeit ein, kürzen sich Länge und Erdbeschleunigung vollständig heraus, und es bleibt eins geteilt durch die Wurzel aus zwei Pi: 0,3989.
| Wasserlinie | Rumpfgeschwindigkeit | in km/h | Froude-Zahl |
|---|---|---|---|
| 4 m | 4,86 kn | 9,00 | 0,3992 |
| 9 m | 7,29 kn | 13,50 | 0,3992 |
| 16 m | 9,72 kn | 18,00 | 0,3992 |
| 30 m | 13,31 kn | 24,65 | 0,3992 |
Die letzte Spalte rührt sich nicht – sie steht bei 0,3992 statt bei 0,3989, weil die Tabelle mit dem gerundeten Faktor 2,43 gerechnet ist und nicht mit der Wellenformel selbst. Ein Vier-Meter-Dingi und ein Dreißig-Meter-Verdränger liegen an ihrer Rumpfgeschwindigkeit bei derselben Froude-Zahl – deshalb kann man die Grenze überhaupt mit einer einzigen Zahl beschreiben. Umgekehrt heißt das: 2,43 und 1,34 sind nicht zwei Regeln, sondern eine Regel in zwei Sprachen. Und weil die Länge unter einer Wurzel steht, gilt auch der Klassiker: Die vierfache Wasserlinie verdoppelt die Rumpfgeschwindigkeit – 4,86 kn bei 4 m, 9,72 kn bei 16 m.
Zwei Einheitenfallen, die sich nicht von selbst verraten
Weil beide Faktoren mit derselben Einheit „Knoten" enden, sehen beide falschen Ergebnisse aus wie Bootsgeschwindigkeiten. 9 m Wasserlinie sind 29,53 Fuß. Wer die Fußlänge in die metrische Formel einsetzt, erhält 13,20 kn – 81 % zu viel, und für ein Boot dieser Größe immer noch eine Zahl, die man sich einreden kann. Wer umgekehrt Meter in die klassische Formel einsetzt, landet bei 4,02 kn, also 45 % zu wenig – unauffällig langsam statt offensichtlich falsch.
Zwischen den beiden Faktoren steht nicht der Umrechnungsfaktor 3,2808 von Fuß auf Meter, sondern dessen Wurzel: 1,8113. Die Länge sitzt unter dem Wurzelzeichen, also wandert auch nur die Wurzel der Umrechnung in die Konstante. Das ist der Grund, warum 2,43 geteilt durch 1,34 keine runde Zahl ergibt.
Was ein Meter Wasserlinie wirklich bringt
Die Wurzel arbeitet gegen große Boote. Jeder zusätzliche Meter bringt weniger als der vorhergehende, und zwar spürbar:
| Wasserlinie | Rumpfgeschwindigkeit | ein Meter mehr bringt | ein Knoten mehr kostet |
|---|---|---|---|
| 5 m | 5,43 kn | 0,52 kn | 2,00 m |
| 6 m | 5,95 kn | 0,48 kn | 2,17 m |
| 7 m | 6,43 kn | 0,44 kn | 2,34 m |
| 8 m | 6,87 kn | 0,42 kn | 2,48 m |
| 9 m | 7,29 kn | 0,39 kn | 2,63 m |
| 10 m | 7,68 kn | 0,38 kn | 2,75 m |
| 12 m | 8,42 kn | 0,34 kn | 3,02 m |
| 15 m | 9,41 kn | 0,31 kn | 3,34 m |
| 20 m | 10,87 kn | 0,27 kn | 3,85 m |
Bei 5 m Wasserlinie bringt ein zusätzlicher Meter 0,52 kn, bei 20 m nur noch 0,27 kn. Und andersherum: Um bei 9 m einen ganzen Knoten zuzulegen, bräuchte der Rumpf 2,63 m mehr Wasserlinie – aus einem 9 m-Boot müsste ein 11,63 m-Boot werden. Wer beim Bootskauf einen Knoten Reisegeschwindigkeit über die Länge kaufen will, kauft in Wirklichkeit eine Klasse größer.
In der Formel fehlt das Gewicht
Hier wird es interessant. Die Wellenformel sagt, wie schnell die Welle läuft. Sie sagt nicht, ob das Boot von dieser Welle überhaupt aufgehalten wird. Ein schwerer, völliger Rumpf verdrängt viel Wasser und baut ein kräftiges Wellensystem auf – der bleibt an der Grenze hängen. Ein schlanker, leichter Rumpf erzeugt ein schwächeres System und fährt darüber hinweg, ohne zu gleiten.
Konstrukteure fassen diese Schlankheit im Verdrängungs-Längen-Verhältnis zusammen: Verdrängung in long tons, geteilt durch die dritte Potenz von einem Hundertstel der Wasserlinienlänge in Fuß. Es ist eine reine Verhältniszahl. Dave Gerr hat im Propeller Handbook eine Näherung veröffentlicht, die daraus das höchstmögliche Verhältnis von Fahrt zu Wurzel Wasserlinie schätzt: 8,26 geteilt durch dieses Verhältnis hoch 0,311. Am veröffentlichten Beispiel nachgerechnet – 5.443 kg auf 8,53 m Wasserlinie – ergibt das ein Verhältnis von 244, einen Faktor von 1,49 und damit 7,91 kn statt der klassischen 7,09 kn.
Dreht man die Formel um und fragt, welches Verdrängungs-Längen-Verhältnis genau die Lehrbuchzahl 1,34 zurückgibt, kommt 347 heraus. Das ist kein neutraler Wert, sondern ein ausgesprochen schwerer Rumpf. Bei 9 m Wasserlinie entspricht er einer Verdrängung von 9.032 kg:
| Verdrängung | Verdrängungs-Längen-Verhältnis | Faktor je Wurzel Meter | erreichbare Fahrt | gegenüber 7,29 kn |
|---|---|---|---|---|
| 3.000 kg | 115 | 3,42 | 10,27 kn | +2,98 kn |
| 4.000 kg | 153 | 3,13 | 9,39 kn | +2,10 kn |
| 5.000 kg | 191 | 2,92 | 8,76 kn | +1,47 kn |
| 5.500 kg | 210 | 2,84 | 8,51 kn | +1,22 kn |
| 6.000 kg | 229 | 2,76 | 8,28 kn | +0,99 kn |
| 7.000 kg | 268 | 2,63 | 7,89 kn | +0,60 kn |
| 8.000 kg | 306 | 2,52 | 7,57 kn | +0,28 kn |
| 9.000 kg | 344 | 2,43 | 7,30 kn | +0,01 kn |
| 10.000 kg | 382 | 2,35 | 7,06 kn | −0,23 kn |
Das Vorzeichen der letzten Spalte kippt zwischen 9.000 kg und 10.000 kg; der genaue Übergang liegt bei 9.032 kg. Alles Schwerere ist langsamer, als die Lehrbuchformel verspricht, alles Leichtere schneller. Eine 5,5-Tonnen-Yacht mit derselben Wasserlinie – für einen Rumpf dieser Länge keine Rennmaschine, sondern ein gewöhnlicher Fahrtenriss – landet bei 8,51 kn. Das sind 1,22 kn oder 16,7 % über einer Grenze, die als physikalisch beschrieben wird.
Gerrs Formel ist eine empirische Konstrukteursnäherung, keine Herleitung. Sie kennt nur Masse und Länge, nicht die Rumpfform, und sie sagt nichts darüber, wie viel Leistung nötig ist, um die Zahl zu erreichen – ein Segler braucht dafür Wind, ein Motorboot Diesel. Die Werte in der Tabelle sind Obergrenzen eines Modells, keine Prüfstandswerte.
Derselbe Meter, zweimal gerechnet
Der Unterschied zwischen beiden Modellen wird da greifbar, wo es ums Geld geht: beim Verlängern der Wasserlinie. Nach der klassischen Formel bringt der Schritt von 9 m auf 10 m genau 0,39 kn – von 7,29 kn auf 7,68 kn. Nach Gerr, bei unveränderter Verdrängung von 5.500 kg, bringt derselbe Meter 1,38 kn: von 8,51 kn auf 9,89 kn. Das ist das 3,5-Fache.
Der Grund steckt im Exponenten und lässt sich ohne Tabelle nachrechnen. Das Verdrängungs-Längen-Verhältnis enthält die Länge in der dritten Potenz im Nenner: Wird der Rumpf länger, ohne schwerer zu werden, fällt es mit der dritten Potenz. Gerrs Faktor steigt deshalb mit der Länge hoch 0,933, und zusammen mit der Wurzel aus der Länge wächst die erreichbare Fahrt mit der Länge hoch 1,433 statt hoch 0,5.
Damit lässt sich die klassische Formel als Sonderfall lesen: Sie beschreibt ein Boot, das beim Wachsen seine Form behält – doppelte Länge, achtfache Verdrängung. Dann bleibt das Verdrängungs-Längen-Verhältnis konstant, Gerrs Faktor rührt sich nicht, und übrig bleibt die reine Wurzel. Die Wurzel ist also nicht das Gesetz, sondern der ungünstigste Fall: was herauskommt, wenn man einen Rumpf maßstäblich vergrößert. Wer stattdessen streckt, ohne zuzuladen, bewegt sich auf einer viel steileren Kurve. Genau das haben Konstrukteure in den letzten Jahrzehnten getan – senkrechter Steven, breites Heck, leichter Bau.
Wo genau es teuer wird
Die Grenze ist keine Wand, sondern ein Anstieg – und der beginnt vor der Rumpfgeschwindigkeit, nicht an ihr. Als Faustwert gilt, dass der Wellenwiderstand ab einer Froude-Zahl von etwa 0,35 stark zunimmt. Das sind 88 % der Rumpfgeschwindigkeit, bei 9 m Wasserlinie also 6,39 kn. Die verbreitete Marschfahrt-Faustregel von 80 % – hier 5,83 kn – hält davon 8 Prozentpunkte Abstand. Die Faustregel ist damit keine willkürliche Rundzahl, sondern liegt gerade noch im flachen Teil der Kurve.
Was der Verzicht kostet, lässt sich exakt ausrechnen, solange man nur nach der Zeit fragt. 7,29 kn gegen 5,83 kn ist ein Verhältnis von 1,250, die gemütliche Fahrt braucht also 25,0 % länger:
| Etappe | mit 7,29 kn | mit 5,83 kn | Unterschied |
|---|---|---|---|
| 10 sm | 1 h 22 min | 1 h 43 min | 21 min |
| 20 sm | 2 h 45 min | 3 h 26 min | 41 min |
| 30 sm | 4 h 07 min | 5 h 09 min | 62 min |
| 50 sm | 6 h 52 min | 8 h 35 min | 103 min |
Auf einem Tagesschlag von 30 Seemeilen kosten die letzten 20 % Fahrt 1 h 02 min. Das ist keine Nebensächlichkeit, sondern der Unterschied zwischen Ankommen vor und nach Sonnenuntergang.
Die Gegenrechnung braucht ein offengelegtes Modell, weil der Verbrauch von Propeller, Motor und Bewuchs abhängt. Nimmt man die übliche Näherung, dass die nötige Leistung mit der dritten Potenz der Fahrt wächst, dann kostet die volle Rumpfgeschwindigkeit 96 % mehr Leistung je Stunde. Weil in dieser Stunde aber auch mehr Strecke zurückgelegt wird, bleibt je Seemeile ein Aufschlag von 56 %. Und das ist die freundliche Rechnung: Direkt unterhalb der Rumpfgeschwindigkeit steigt die Widerstandskurve steiler als mit der dritten Potenz, der reale Aufschlag liegt darüber. Wie stark, hängt am konkreten Antrieb – dafür gibt es den Spritverbrauchsrechner fürs Boot.
Der Handel lautet also: mindestens 56 % mehr Sprit je Seemeile gegen 25 % Zeit. Das ist eine echte Abwägung und keine Selbstverständlichkeit – wer bei auffrischendem Wind einen Hafen erreichen will, entscheidet sich zu Recht anders als auf einem ruhigen Nachmittagsschlag.
Was die Zahl leistet und was nicht
Die Rumpfgeschwindigkeit beantwortet eine Frage über Wellen, nicht über Boote: Wie schnell läuft eine Welle, die so lang ist wie dieser Rumpf? Die Antwort ist exakt und hängt nur an der Erdbeschleunigung. Alles Weitere – ob das Boot von dieser Welle wirklich gebremst wird, ab wann es unwirtschaftlich wird, wie viel Leistung der nächste Zehntelknoten kostet – steht nicht in der Formel. Dafür braucht es die Verdrängung, die Rumpfform und den Antrieb.
Praktisch heißt das dreierlei. Erstens: Für einen schweren, völligen Verdrängerrumpf ist die berechnete Zahl eine gute Obergrenze – dafür wurde sie kalibriert. Zweitens: Für einen modernen, leichten Rumpf ist sie eine Untergrenze, und der Abstand ist mit über einem Knoten größer, als das Wort „Grenze" vermuten lässt. Drittens: Als Vergleichsmaßstab zwischen zwei Booten taugt sie nur, wenn beide ähnlich schwer für ihre Länge sind. Sonst vergleicht man zwei Wellenlängen und hält das Ergebnis für einen Geschwindigkeitsvergleich.
Wer die Zahl für die Törnplanung braucht, rechnet ohnehin nicht mit dem Maximum, sondern mit der Marschfahrt – und danach mit Ankergrund und Kettenlänge, wofür es den Ankerkettenrechner gibt. Und wer den Rumpf gar nicht erst ins Wasser lässt, sondern zum nächsten Revier zieht, stößt auf eine ganz andere Grenze: die des Führerscheins und der Tempo-100-Zulassung.